Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có $\large SA=x (0< x< \sqrt{3})$, tất c

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có $\large SA=x (0< x< \sqrt{3})$, tất cả các cạnh còn lại bằng nhau và bằng 1. Với giá trị nào của $\large x$ thì thể tích khối chóp đã cho lớn nhất.

• A.

  A. $\large x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

• B.

  B. $\large x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

• C.

  C. $\large x=\frac{\sqrt{6}}{2}$

• D.

  D. $\large x=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Gọi $\large O$ là tâm của hình thoi $\large ABCD\rightarrow OA=OC (1)$

Theo bài ra, ta có $\large\bigtriangleup SBD=\bigtriangleup CBD\Rightarrow OS=OC$

Từ (1) và (2) ta có $\large OS=OA=OC=\frac{1}{2} AC\Rightarrow \bigtriangleup SAC$ vuông tại $\large S\Rightarrow AC=\sqrt{x^{2}+1}$

Suy ra $\large OA=\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2}$ và $\large OB=\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=\frac{\sqrt{3-x^{2}}}{2}$

Ta có $\large SB=SC=SD=1$, suy ra hình chiếu vuông góc $\large H$ của đỉnh $\large S$ trên mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $\large BCD\longrightarrow H\in AC$

Trong tam giác vuông $\large SAC$, ta có $\large  SH=\frac{SA.SC}{\sqrt{SA^{2}+SC^{2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

Khi đó $\large V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{(x^{2}+1)(3-x^{2})}}{2}\cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{1}{6}x\sqrt{3-x^{2}}\leq \frac{1}{6}\cdot \left ( \frac{x^{2}+3-x^{2}}{2} \right )=\frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra $\large\Leftrightarrow x=\sqrt{3-x^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Đáp án C