Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy $\Large ABCD$ là hình vuông cạnh

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy $\Large ABCD$ là hình vuông cạnh $\Large a,$ $\Large SA=2a$ và vuông góc với $\Large (ABCD).$ Gọi $\Large M$ là trung điểm của $\Large SD.$ Tính khoảng cách $\Large d$ giữa hai đường thẳng $\Large SB$ và $\Large CM.$

• A. A. $\Large d=\dfrac{a}{3}.$
• B. B. $\Large d=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$
• C. C. $\Large d=\dfrac{2a}{3}.$
• D. D. $\Large d=\dfrac{a}{6}.$

Chọn C

Gọi $\Large O =AC\cap BD.$
Vì $\Large ABCD$ là hình vuông cạnh $\Large a$

$\Large \Rightarrow O$ là trung điểm của $\Large BD$

Mà $\Large M$ là trung điểm của $\Large SD$

$\Large \Rightarrow OM// SB$ $\Large \Rightarrow SB // (ACM).$

Do đó $\Large d(SB,CM)=d\big(SB, (ACM)\big)$ $\Large =d\big(B,(ACM)\big)$ $\Large =d\big(D,(ACM)\big).$

Gọi $\Large H$ là trung điểm của $\Large AD$ $\Large \Rightarrow MH // SA$ $\Large \Rightarrow MH \perp (ABCD).$

Khi đó ta có: $\Large d(SB, CM)=d\big(D,(ACM)\big)=2d\big(H,(ACM)\big).$

Kẻ $\Large HI \perp AC \Rightarrow (MHI)\perp (MAC)$ theo giao tuyến $\Large MI.$

Kẻ $\Large HK \perp MI \Rightarrow HK \perp (ACM)$ $\Large \Rightarrow d\big(H,(ACM)\big)=HK.$

$\Large HI=\dfrac{1}{2}OD=\dfrac{1}{4}BD=\dfrac{1}{4}\sqrt{AB^2+AD^2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

$\Large MH=\dfrac{1}{2}SA=a.$

$\Large \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{HM^2}+\dfrac{1}{HI^2}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{HK^2} =\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\bigg(\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\bigg)^2}$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{9}{a^2}$ $\Large \Leftrightarrow HK=\dfrac{a}{3}.$

Vậy $\Large d(SB, CM)=2d\big(H,(ACM)\big)=2HK=\dfrac{2a}{3}.$