Cho hàm số $\Large y=f(x)$ thỏa mãn $\Large \big[{f}'(x)\big]^2+f(x).{

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ thỏa mãn $\Large \big[{f}'(x)\big]^2+f(x).{f}''(x)=x^3-2x, \forall x \in \mathbb{R}$ và $\Large f(0)={f}'(0)=2.$ Tính giá trị của $\Large T=f^2(2)$

• A.

  A. $\Large \dfrac{160}{15}.$

• B.

  B. $\Large \dfrac{268}{15}.$

• C.

  C. $\Large \dfrac{4}{15}.$

• D.

  D. $\Large \dfrac{268}{30}.$

Chọn B

Ta có: $\Large \big[{f}'(x)\big]^2+f(x).{f}''(x)=x^3-2x, \forall x \in \mathbb{R}$ $\Large \Leftrightarrow \big({f}'(x).f(x)\big)'=x^3-2x, \forall x \in \mathbb{R}$

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

$\Large \int\big({f}'(x).f(x)\big)'\mathrm{d}x=\int(x^3-2x)\mathrm{d}x$ $\Large \Leftrightarrow {f}'(x).f(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2+C$
Theo đề ra ta có: $\Large {f}'(0).f(0)=C=4$
Suy ra:

$\Large \int\limits_0^2{f}'(x).f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_0^2\bigg(\dfrac{x^4}{4}-x^2+4\bigg)\mathrm{d}x$
$\Large \Leftrightarrow \dfrac{f^2(x)}{2}\bigg|_0^2=\dfrac{104}{15} \Leftrightarrow f^2(2)=\dfrac{268}{15}.$