Cho hàm số $\Large y=f(x).$ Đồ thị hàm số $\Large y={f}'(x)$ như hình

Cho hàm số $\Large y=f(x).$ Đồ thị hàm số $\Large y={f}'(x)$ như hình vẽ. Cho bất phương trình $\Large 3f(x) \geq x^3-3x+m$ ($\Large m$ là tham số thực). Điều kiện cần và đủ để bất phương trình $\Large 3f(x) \geq x^3-3x+m$ đúng với mọi $\Large x\in \Big[-\sqrt{3}; \sqrt{3}\Big]$ là

• A.

  A. $\Large m \geq 3f(1).$

• B.

  B. $\Large m \geq 3f(-\sqrt{3}).$

• C.

  C. $\Large m \leq 3f(0).$

• D.

  D. $\Large m \leq 3f(\sqrt{3}).$

Chọn D

Ta có $\Large 3f(x) \geq x^3-3x+m$ $\Large \Leftrightarrow 3f(x)-x^3+3x \geq m$

Đặt $\Large g(x)=3f(x)-x^3+3x.$ Tính $\Large {g}'(x)=3{f}'(x)-3x^2+3$

Có $\Large {g}'(x)=0 \Leftrightarrow {f}'(x)=x^2-1$ 

Nghiệm của phương trình $\Large {g}'(x)=0$ là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $\Large y={f}'(x)$ và parabol $\Large y=x^2-1$

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: $\Large {f}'(x)=x^2-1$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & x=-\sqrt{3} \\ & x=0 \\ & x=\sqrt{3} \end{align}\right.$

BBT

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $\Large x\in \Big[-\sqrt{3}; \sqrt{3}\Big]$ thì $\Large m \leq \underset{[-\sqrt{3};\sqrt{3}]}{\min}g(x)=g(\sqrt{3})=3f(\sqrt{3}).$