Cho các số thực $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large 0 \leq x, y \leq 1$ và

Cho các số thực $\Large x, y$ thỏa mãn $\Large 0 \leq x, y \leq 1$ và $\Large \mathrm{log}_3\bigg(\dfrac{x+y}{1-xy}\bigg)+(x+1)(y+1)-2=0.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $\Large P$ với $\Large P=2x+y$

• A.

  A. $\Large 2.$

• B.

  B. $\Large 1.$

• C.

  C. $\Large 0.$

• D.

  D. $\Large \dfrac{1}{2}.$

Chọn B

Ta có $\Large \mathrm{log}_3\bigg(\dfrac{x+y}{1-xy}\bigg)+(x+1)(y+1)-2=0$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_3\bigg(\dfrac{x+y}{1-xy}\bigg)+xy+x+y-1=0$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}_3(x+y)+x+y=\mathrm{log}_3(1-xy)+1-xy$
Xét hàm số đặc trưng $\Large f(t)=\mathrm{log}_3t+t$ với $\Large t > 0$
Ta có $\Large {f}'(t)=\dfrac{1}{t\mathrm{ln}3}+1 > 0, \forall t > 0$

Hàm số $\Large f(t)$ đồng biến với $\Large t > 0$

Có $\Large f(x+y)=f(1-xy) \Leftrightarrow x+y=1-xy$ $\Large \Leftrightarrow x(y+1)=1-y$ $\Large \Leftrightarrow x=\dfrac{1-y}{y+1}$

Ta có $\Large P=2x+y=\dfrac{2-2y}{y+1}+y$ $\Large =-3+\dfrac{4}{y+1}+y+1$ $\Large \geq -3+2\sqrt{\dfrac{4}{y+1}(y+1)}=1$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\Large P$ bằng $\Large 1.$