Cho hàm số $\Large y=|x^4-2x^3+x^2+a|.$ Có bao nhiêu số thực $\Large a

Cho hàm số $\Large y=|x^4-2x^3+x^2+a|.$ Có bao nhiêu số thực $\Large a$ để $\Large \underset{[1;2]}{\min}y+\underset{[1;2]}{\max}y=10?$

• A.

  A. $\Large 3.$

• B.

  B. $\Large 5.$

• C.

  C. $\Large 2.$

• D.

  D. $\Large 1.$

Chọn C

Đặt $\Large y=|x^4-2x^3+x^2+a|=|f(x)|.$

Xét hàm số $\Large f(x)=x^4-2x^3+x^2+a$

Khi đó $\Large {f}'(x) \geq 0, \forall x \in [1; 2]$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & \max\ y \in \begin{Bmatrix}
|a|, |a+4|
\end{Bmatrix} \\ & \min\ y \in \begin{Bmatrix}
|a|, 0, |a+4|
\end{Bmatrix} \end{align}\right.$

Xét các trường hợp

+) $\Large a \geq 0$

$\Large \Rightarrow \max\ y=a+4; \min \ y=a$ $\Large \Rightarrow 2a+4=10$ $\Large \Rightarrow a=3 (\text{TM})$
+) $\Large + a \leq -4$

$\Large \Rightarrow \max\ y=-a; \min\ y=-a-4$ $\Large \Rightarrow -a-4-a=10$ $\Large \Rightarrow a=-7 (\text{TM})$

+) $\Large \left\{\begin{align} & a < 0 \\ & a+4 > 0 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow -4 < a < 0$

$\Large \Rightarrow \min\ y=0; \max\ y \in \begin{Bmatrix}
a+4; -a
\end{Bmatrix}$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & a+4=10 \\ & -a=10 \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left[\begin{align} & a=6 \\ & a=-10 \end{align}\right. (\text{KTM})$ 

Vậy tồn tại hai giá trị $\Large a$ thỏa mãn.