Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình chữ nhật. M

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$  là hình chữ nhật. Mặt bên $\large SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SA biết $\large AD = a \sqrt {3}, AB = a$. Khi đó khoảng cách từ C đến $\large (MBD)$ là 

• A.

  $\large \dfrac {2a \sqrt {15}}{10}$

• B.

  $\large \dfrac {a \sqrt {39}}{13}$

• C.

  $\large \dfrac {2a \sqrt {39}}{13}$

• D.

  $\large \dfrac {a \sqrt {39}}{26}$

Gọi H là trung điểm của $\large AB \Rightarrow SH \perp AB \Rightarrow SH \perp (ABCD)$ (Vì $\large (SAB) \perp ( ABCD)$)
Gọi G là trọng tâm tam giác $\large SAB$, suy ra G là là giao điểm của SH và BM
Gọi O là giao điểm của AC và BD , suy ra O là trung điểm của AC
$\large \Rightarrow d (C;(MBD)) = d (A;(MBD))$
Từ H kẻ $\large HI \perp BD$, ta có $\large \left\{\begin{matrix} BD \perp HI \\ BD \perp SH  \end{matrix}\right. \Rightarrow BD \perp (SHI) \Rightarrow (MBD) \perp (SHI)$

Từ H kẻ $\large HK \perp GI \Rightarrow HK \perp (MBD) \Rightarrow HK=d(H;(MBD))$
Gọi AJ là đường cao trong $\large \Delta ABD \Rightarrow \dfrac {1}{AJ^{2}} = \dfrac {1}{AB^{2}} + \dfrac {1}{AD^{2}} = \dfrac {1}{a^{2}} + \dfrac {1}{3a^{2}} = \dfrac {4}{3a^{2}} \Rightarrow AJ = \dfrac {a \sqrt {3}}{2}$
Ta có: $\large HI = \dfrac {1}{2} AJ = \dfrac {a \sqrt {3}}{4}; HG = \dfrac {1}{3} HS = \dfrac {a \sqrt {3}}{6}$
Xét $\large \Delta GHI$ ta có: $\large \dfrac {1}{HK^{2}} = \dfrac {1}{HI^{2}} + \dfrac {1}{HG^{2}} = \dfrac {16}{3a^{2}} + \dfrac {36}{3a^{2}} = \dfrac {52}{3a^{2}} \Rightarrow HK = \dfrac {a \sqrt {39}}{26}$
Do H là trung điểm của AB $\large \Rightarrow d(A;(MBD)) = 2d(H;(MBD)) = 2HK = \dfrac {a \sqrt {39}}{13}$
Vậy $\large d(C;(MBD)) = d(A;(MBD)) = \dfrac {a \sqrt {39}}{13}$