Cho hàm số $\large f(x)$ liên tục trên $\large \mathbb{R}$ thỏa mãn $\

Cho hàm số $\large f(x)$ liên tục trên $\large \mathbb{R}$ thỏa mãn $\large \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}} f(tan x) \mathrm{d}x = 4$ và $\large \int\limits_{0}^{1} \dfrac {x^{2} f(x)}{x^{2} + 1} \mathrm{d}x = 2$. Tính tích phân $\large I = \int\limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x$

• A.

  6

• B.

  2

• C.

  3

• D.

  1

Ta có: $\large I_{1} = \int\limits_{0}^{\dfrac {\pi}{4}} f(tan x) \mathrm{d}x = 4$
Đặt $\large t = tan x \Rightarrow \mathrm{d}t = \dfrac {\mathrm{d}x}{cos^{2} x}  \Rightarrow \mathrm{d}t = (1 + tan^{2} x)\mathrm{d}x = (1 + t^{2}) \mathrm{d}x \Rightarrow \dfrac {\mathrm{d}t}{1 + t^{2}} = \mathrm{d}x$
$\large \Rightarrow I_{1} = \int\limits_{0}^{1} \dfrac {f(t)}{t^{2} + 1} \mathrm{d}t = \int\limits_{0}^{1} \dfrac {f(x)}{x^{2} + 1} \mathrm{d}x = 4$
$\large I_{2} = \int\limits_{0}^{1} \dfrac {x^{2} f(x)}{x^{2} + 1}\mathrm{d}x =  \int\limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x - \int\limits_{0}^{1} \dfrac {f(x)}{x^{2} + 1}\mathrm{d}x = \int\limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x - 4 = 2 \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d}x = 6$