Cho hai số thực $\large x; y$ thỏa mãn $\large log_{\sqrt {3}} (y^{2}

Cho hai số thực $\large x; y$ thỏa mãn $\large log_{\sqrt {3}} (y^{2} + 8y + 16) + log_{2} [(5 - x)(1 + x)] = 2log_{3} \dfrac {5 + 4x - x^{2}}{3} + log_{2} (2y + 8)^{2}$. Gọi $\large S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $\large m$ để giá trị lớn nhất của biểu thức $\large P = \left | \sqrt {x^{2} + y^{2}} - m \right |$ không vượt quá 10. Hỏi $\large S$ có bao nhiêu tập con khác rỗng

• A.

  2407

• B.

  16383

• C.

  16384

• D.

  32

$\large log_{\sqrt {3}} (y^{2} + 8y + 16) + log_{2} [(5 - x)(1 + x)] = 2log_{3} \dfrac {5 + 4x - x^{2}}{3} + log_{2} (2y + 8)^{2}$
$\large \Leftrightarrow 2log_{3} (y + 4)^{2} + log_{2} (5 + 4x - x^{2}) = 2log_{3}  (5 + 4x - x^{2}) + log_{2} (y + 4)^{2}$
$\large \Leftrightarrow log_{3} (y + 4)^{2} = log_{3}  (5 + 4x - x^{2})$
$\large \Leftrightarrow  (y + 4)^{2} = 5 + 4x - x^{2}$
$\large \Leftrightarrow  x^{2} + y^{2} - 4x + 8y + 11 = 0$
Ta có: $\large x^{2} + y^{2} + 11 = 4(x - 2y) \leq 4 \sqrt {(1^{2} + 2^{2})(x^{2} + y^{2})}$
$\large 2 \sqrt {5} - 3 \leq \sqrt {x^{2} + y^{2}} \leq 2 \sqrt {5} + 3 \Rightarrow 2 \sqrt {5} - 3 - m \leq \sqrt {x^{2} + y^{2}}-m \leq 2 \sqrt {5} + 3 - m$
$\large \Leftrightarrow P = max\left \{ \left | 2 \sqrt {5} - 3 - m \right |;\left | 2 \sqrt {5} + 3 - m \right | \right \} = \left | 2 \sqrt {5} - m \right | + 3 \leq 10$
$\large \Leftrightarrow 2 \sqrt {5} - 7 \leq m \leq 2 \sqrt {5} + 7$
Vậy $\large S = \begin{Bmatrix} \pm 2; \pm 1; 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 \end{Bmatrix}$ có 14 phần tử và $\large S$ có tất cả $\large 2^{14} - 1 = 16383$ tập con khác rỗng