Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình bình hành v

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy $\large ABCD$ là hình bình hành và có thể tích là $\large V$. Điểm P là trung điểm của SC. Mặt phẳng $\large (\alpha)$ qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N. Gọi $\large V_{1}$ là thể tích của khối chóp $\large S.AMPN$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số $\large \dfrac {V_{1}}{V}$

• A.

  $\large \dfrac {2}{3}$

• B.

  $\large \dfrac {1}{8}$

• C.

  $\large \dfrac {1}{3}$

• D.

  $\large \dfrac {3}{8}$

Đặt $\large a = \dfrac {SM}{SB}; b = \dfrac {SN}{SD}$ ($\large 0< a ; b \leq 1$)
Ta có: $\large \dfrac {V_{1}}{V} = \dfrac {V_{S.AMP} + V_{S.ANP}}{V} = \dfrac {V_{S.AMP}}{2V_{S.ABC}} + \dfrac {V_{S.ANP}}{2V_{S.ADC}} = \dfrac {1}{2} (\dfrac {SM}{SB} . \dfrac {SP}{SC} + \dfrac {SN}{SD} . \dfrac {SP}{SC}) = \dfrac {1}{4} (a + b)$ (1)
Lại có: $\large \dfrac {V_{1}}{V} = \dfrac {V_{S.AMN} + V_{S.PMN}}{V} = \dfrac {V_{S.AMN}}{2V_{S.ABD}} + \dfrac {V_{S.PMN}}{2V_{S.CBD}} = \dfrac {1}{2} (\dfrac {SM}{SB} . \dfrac {SN}{SD} + \dfrac {SM}{SB} . \dfrac {SP}{SC} . \dfrac {SN}{SD}) = \dfrac {3}{4} ab$ (2)
Suy ra: $\large \dfrac {1}{4} (a + b) =  \dfrac {3}{4} ab \Leftrightarrow a + b = 3ab \Rightarrow b = \dfrac {a}{3a - 1}$. Từ điều kiện, ta có: $\large \dfrac {a}{3a - 1} \leq 1$ hay $\large a \geq \dfrac {1}{2}$
Thay vào (2) ta được tỉ số $\large \dfrac {V_{1}}{V} = \dfrac {3}{4} . \dfrac {a^{2}}{3a - 1}$
Đặt $\large f(a) = \dfrac {3}{4} . \dfrac {a^{2}}{3a - 1}; a \in [\dfrac {1}{2};1]$, ta có: $\large f'(a) = \dfrac {3}{4} . \dfrac {3a^{2} - 2a}{(3a - 1)^{2}} = 0 \Leftrightarrow$ $\large \left[\begin{align} &a = 0(L) \\ & a = \dfrac {2}{3} \end{align}\right.$
$\large f(\dfrac {1}{2}) = f(1) = \dfrac {3}{8}; f(\dfrac {2}{3}) = \dfrac {1}{3}$
Do đó: $\large Min  \dfrac {V_{1}}{V} = \underset{a \in [\dfrac {1}{2};1]}{Min} f(a) = f(\dfrac {2}{3}) = \dfrac {1}{3}$
Cách 2: 
Từ giả thiết và cách dựng thiết diện ta có: $\large \dfrac {SA}{SA} = a = 1; \dfrac {SB}{SM} = b; \dfrac {SC}{SP} = c = 2; \dfrac {SD}{SN} = d \Rightarrow a + c = b + d = 3$
Khi đó:   $\large \dfrac {V_{1}}{V} = \dfrac {a + b + c + d}{4.a.b.c.d} = \dfrac {6}{4.1.2.b.d} = \dfrac {3}{4b.d} \geq \dfrac {3}{4(\dfrac {b + d}{2})^{2}} = \dfrac {1}{3}  \Rightarrow  \dfrac {V_{1}}{V} \geq \dfrac {1}{3}$
$\large \Rightarrow$  $\large Min  \dfrac {V_{1}}{V} = \dfrac {1}{3}$