Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $\Large A

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $\Large A,D$, $\Large AD=CD=a;\,AB=2a,\,SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh bên $\Large SC$ và mặt phẳng $\Large \left( ABCD \right)$ bằng $\Large 45{}^\circ $\Large . Gọi $\Large I$ là trung điểm của cạnh $\Large AB$. Tính khoảng cách từ điểm $\Large I$ đến mặt phẳng $\Large \left( SBC \right)$.

• A. $\Large a$.
• B. $\Large \dfrac{a}{3}$.
• C. $\Large \dfrac{a}{2}$
• D. $\Large \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ta có $\Large SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow \left( SC,\left( ABCD \right) \right)=\left( SC,CA \right)=\widehat{SCA}=45{}^\circ $
$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông cân ở A $\Large \Rightarrow SA=AC=a\sqrt{2}$.
Kẻ $\Large AH\bot SC$ tại $\Large H.$
Tứ giác $\Large ADCI$ có $\Large AI$$\Large DC;\,AI=AD=DC=a;\,\widehat{DAI}=90{}^\circ $\Large  nên nó là hình vuông.
Xét $\Large \Delta ACB$ có $\Large AI=IB=IC=a$
Mà $\Large IC$ là trung tuyến $\Large \Rightarrow \Delta ACI$ vuông ở $\Large C$$\Rightarrow CB\bot AC$
Mặt khác $\Large CB\bot SA\Rightarrow CB\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CB\bot HA$
Vì $\Large \left. \begin{matrix}
& CB\bot AH \\ 
& SC\bot AH \\ 
\end{matrix} \right\}\Rightarrow AH\bot \left( SCB \right)$.
$\Large \Rightarrow d\left( A,\left( SCB \right) \right)=AH.$
Mà $\Large \Delta SAC$vuông cân ở $\Large A\Rightarrow AH=a.$
Vì $\Large I$ là trung điểm $\Large AB\Rightarrow d\left( I,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)=\dfrac{a}{2}$