Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, mặt bên $\large

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, mặt bên $\large SAD$ là tam giác vuông tại $\large S$. Hình chiếu vuông góc của $\large S$ trên mặt đáy là điểm $\large H$ thuộc cạnh $\large AD$ sao cho $\large HA=3HD$. Biết rằng $\large SA=2a\sqrt{3}$ và $\large SC$ tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng $\large 30^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

• A.

  A. $\large 8\sqrt{2} a^{3}$ 

• B.

  B. $\large 8 \sqrt{6} a^{3}$

• C.

  C. $\large\frac{8 \sqrt{6} a^{3}}{3}$

• D.

  D. $\large\frac{8 \sqrt{6} a^{3}}{9}$

Xác định: $\large 30^{\circ}=\left ( \widehat{SC,(ABCD)} \right )=\left ( \widehat{SC,HC} \right )=\widehat{SCH}$

Tam giác vuông $\large SAD$, có $\large SA^{2}=AH \cdot AD \Leftrightarrow 12 a^{2}=\frac{3}{4} AD \cdot AD$ 

Suy ra $\large AD=4a, HA=3a, HD=a, SH =\sqrt{HA .HD}=a \sqrt{3}$

$\large HC=SH.\mathrm{cot}\widehat{SCH} =3a, CD=\sqrt{HC^{2}-HD^{2}}=2a \sqrt{2}$ 

Diện tích hình chữ nhật: $\large S_{ABCD}=AD.CD=8\sqrt{2}a$

Vậy thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABCD}=\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot S H=\frac{8 \sqrt{6} a^{3}}{3}$. 

Chọn C.