Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $\large A

Cho hình chóp $\large S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $\large A$ và $\large D, AD=DC=1,AB=2$. Cạnh bên $\large SA$ vuông góc với đáy, mặt phẳng $\large (SBC)$ tạo với mặt đáy một góc $\large 45^{\circ}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

• A.

  A. $\large\sqrt{2}$

• B.

  B. $\large\frac{\sqrt{2}}{2}$

• C.

  C. $\large\frac{3\sqrt{2}}{2}$

• D.

  D. $\large\frac{\sqrt{2}}{6}$

Gọi $\large I$ là trung điểm $\large AB$, suy ra $\large ADCI$ là hình vuông nên $\large CI=AD=\frac{1}{2}AB=1$

Suy ra tam giác $\large ABC$ vuông tại $\large C$

Khi đó dễ dàng xác định: $\large45^{\circ}=(\widehat{(SBC),(ABCD)})=(\widehat{SC,AC})=\widehat{SCA}$

Chiều cao khối chóp: $\large SA=AC . \tan \widehat{SCA}=\sqrt{2}.tan45^{0}=\sqrt{2}$

Diện tích hình thang: $\large S_{ABCD}=\frac{(AB+DC)}{2}.AD=\frac{2+1}{2}.1=\frac{3}{2}$

Vậy thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.S_{\mathrm{ABCD}} .SA=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}.\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Đáp án B