Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ biết $\Large A(-2;2;6); B(-3;1;8), C(-1;

Cho hình chóp $\Large S.ABCD$ biết $\Large A(-2;2;6); B(-3;1;8), C(-1;0;7); D(1;2;3)$. Gọi H là trung điểm của $\Large CD, AH\perp (ABCD).$ Để khối chóp $\Large S.ABCD$ có thể tích bằng $\Large \dfrac{27}{2}$ (đvtt) thì có hai điểm $\Large S_1, S_2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của $\Large S_1S_2$

• A. $\Large I(0;-1;-3)$
• B. $\Large I(1;0;3)$
• C. $\Large I(0;1;3)$
• D. $\Large I(-1;0;-3)$

Ta có $\Large \overrightarrow{AB}=(-1;-1;2), \overrightarrow{AC}=(1;-2;1)\Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Large \overrightarrow{DC}=(-2;-2;4), \overrightarrow{AB}=(-1;-1;2)$ $\Large \Rightarrow \overrightarrow{DC}=2.\overrightarrow{AB}\Rightarrow ABCD $ là hình thang và $\Large S_{ABCD}=3S_{ABC}=\dfrac{9\sqrt{3}}{2}$

Vì $\Large V_{S.SBCD}=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABCD}\Rightarrow SH=3\sqrt{3}$

Lại có H là trung điểm của CD $\Large \Rightarrow H(0;1;5)$

Gọi $\Large S(a;b;c)\Rightarrow \overrightarrow{SH}=(-a;1-b;5-c)\Rightarrow \overrightarrow{SH}=k.[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=k(3;3;3)=(3k;3k;3k)$

Suy ra $\Large 3\sqrt{3}=\sqrt{9k^{2}+9k^{2}+9k^{2}}\Rightarrow k = \pm 1$

+ Với $\Large k=1\Rightarrow \overrightarrow{SH}=(3;3;3)\Rightarrow S(-3;-2;2)$

+ Với $\Large k=-1\Rightarrow \overrightarrow{SH}=(-3;-3;-3)\Rightarrow S(3;4;8)$

Suy ra $\Large I(0;1;3)$