Cho hình chóp $\Large S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $\Large A,$

Cho hình chóp $\Large S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $\Large A,$ $\Large \widehat{ABC}=30^{\circ}, BC=a,$ hai mặt phẳng $\Large (SAB),$ $\Large (SAC)$ cùng vuông góc với mặt đáy, mặt bên $\Large (SBC)$ tạo với đáy góc $\Large 45^{\circ}.$ Thể tích khối chóp $\Large S.ABC$ là

 

• A.

  A. $\Large \dfrac{a^3}{64}.$

• B.

  B. $\Large \dfrac{a^3}{16}.$

• C.

  C. $\Large \dfrac{a^3}{9}.$

• D.

  D. $\Large \dfrac{a^3}{32}.$

Chọn D

Ta có $\Large \left\{\begin{align} & (SAB)\perp (ABC) \\ & (SAC)\perp (ABC)\\ &(SAB)\cap (SAC)=SA \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow SA\perp (ABC)$ $\Large \Rightarrow V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}.SA.S_{\Delta ABC}.$

Ta có $\Large \Delta ABC$ vuông tại $\Large A$ và $\Large \widehat{ABC}=30^{\circ},$ $\Large BC=a$ nên $\Large AC=\dfrac{a}{2}, AB=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.$

$\Large S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}.$

Từ $\Large A$ kẻ $\Large AM\perp BC$ tại $\Large M$ ta có

$\Large \widehat{\big((SBC), (ABC)\big)}=\widehat{(SM, AM)}=\widehat{SMA}$ $\Large \Rightarrow \widehat{SMA}=45^{\circ}.$

Suy ra tam giác $\Large SAM$ vuông cân tại $\Large A$ $\Large \Rightarrow SA=AM.$

Trong tam giác $\Large ABC$ vuông tại $\Large A$ đường cao $\Large AM$ ta có 

$\Large AB.AC=AM.BC$ $\Large \Rightarrow AM=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}}{a}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}$ $\Large \Rightarrow SA=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.$
Vậy $\Large V_{S.ABC}=\dfrac{1}{3}.SA.S_{\Delta ABC}$ $\Large =\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}.\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}$ $\Large =\dfrac{a^3}{32}.$