Cho hàm số $\Large f(x)=\dfrac{x}{\cos ^2 x}$ trên $\Large \bigg(-\dfr

Cho hàm số $\Large f(x)=\dfrac{x}{\cos ^2 x}$ trên $\Large \bigg(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ và $\Large F(x)$ là một nguyên hàm của $\Large x.{f}'(x)$ thỏa mãn $\Large F(0)=0.$ Biết $\Large a\in \bigg(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$ thỏa mãn $\Large \tan a=3.$ Tính giá trị biểu thức $\Large T=F(a)-10a^2+3a.$

• A.

  A. $\Large -\dfrac{1}{2}\mathrm{ln}10.$

• B.

  B. $\Large \dfrac{1}{2}\mathrm{ln}10.$

• C.

  C. $\Large -\dfrac{1}{4}\mathrm{ln}10.$

• D.

  D. $\Large \mathrm{ln}10.$

Chọn B

$\Large \forall x \in \bigg(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\bigg)$, đặt $\Large \left\{\begin{align} & u=x \\ & \mathrm{d}v={f}'(x)\mathrm{d}x \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & \mathrm{d}u=\mathrm{d}x \\ & v=f(x) \end{align}\right..$

Ta có $\Large F(x)=x.f(x)-\int f(x)\mathrm{d}x$ $\Large = \dfrac{x^2}{\cos ^2 x}-\int\dfrac{x}{\cos ^2 x}\mathrm{d}x.$

Đặt $\Large \left\{\begin{align} & u_1=x \\ & \mathrm{d}v_1=\dfrac{1}{\cos ^2 x}\mathrm{d}x \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} & \mathrm{d}u_1=\mathrm{d}x \\ & v_1=\tan x \end{align}\right.$

$\Large F(x) =\dfrac{x^2}{\cos ^ 2 x}-\big(x.\tan x-\int \tan x\mathrm{d}x\big)$ $\Large =x^2\big(1+\tan ^ 2 x\big) -x.\tan x-\mathrm{ln}|\cos x|+C.$

Vì $\Large F(0)=0 \Rightarrow C=0$

$\Large \Rightarrow F(x)=x^2\big(1+\tan ^2 x\big)-x\tan x-\mathrm{ln}|\cos x|.$

Ta có $\Large \dfrac{1}{\cos ^2 a}=1+\tan ^2 a=10$ $\Large \Rightarrow cosa=\dfrac{1}{\sqrt{10}}.$

Khi đó $\Large T=a^2(1+9)-3a-\mathrm{ln}|cos a|-10a^2+3a$ $\Large =-\mathrm{ln}\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{1}{2}\mathrm{ln}10.$