Cho hàm số $\Large y=\dfrac{m\sin x+1}{\cos x+2}$ có bao nhiêu giá trị

Cho hàm số $\Large y=\dfrac{m\sin x+1}{\cos x+2}$ có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $\Large m$ thuộc đoạn $\Large [-5; 5]$ để giá trị nhỏ nhất của $\Large y$ nhỏ hơn $\Large -1.$

• A.

  A. $\Large 4.$

• B.

  B. $\Large 2.$

• C.

  C. $\Large 6.$

• D.

  D. $\Large 8.$

Chọn C

Điều kiện: $\Large \cos x+2 \neq 0$ luôn đúng $\Large \forall x \in \mathbb{R}.$

$\Large y=\dfrac{m\sin x+1}{\cos x+2}$ $\Large \Leftrightarrow y(\cos x+2)=m\sin x+1$ $\Large \Leftrightarrow m\sin x -y\cos x=2y-1.  (*)$

Phương trình $\Large (*)$ có nghiệm $\Large \Leftrightarrow m^2+y^2 \geq (2y-1)^2$ $\Large \Leftrightarrow 3y^2-4y+1-m^2 \leq 0$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{1+3m^2}}{3} \leq y \leq \dfrac{2+\sqrt{1+3m^2}}{3}$

$\Large \Rightarrow \underset{\mathbb{R}}{\min}\ y=\dfrac{2-\sqrt{1+3m^2}}{3}.$
$\Large \underset{\mathbb{R}}{\min}\ y < -1$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{2-\sqrt{1+3m^2}}{3} < -1$ $\Large \Leftrightarrow \sqrt{1+3m^2} > 5$ $\Large \Leftrightarrow m^2>8$ $\Large \Leftrightarrow \left[\begin{align} & m > 2\sqrt{2} \approx 2,83 \\ & m < -2\sqrt{2} \approx -2,83 \end{align}\right.$

Mà $\Large m \in \mathbb{Z}, m \in [-5; 5]$ nên $\Large m \in \begin{Bmatrix}
-5; -4; -3; 3; 4; 5
\end{Bmatrix}.$