Cho hình chóp $\large S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $\large

Cho hình chóp $\large S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $\large C, AB=3$. Hình chiếu vuông góc của $\large S$ xuống mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác $\large ABC$ và $\large SB=\frac{\sqrt{14}}{2}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:

• A.

  A. 1

• B.

  B. $\large\frac{3}{2}$

• C.

  C. $\large\frac{1}{4}$

• D.

  D. $\large\frac{3}{4}$

Gọi $\large M,N$ lần lượt là trung điểm $\large AB,AC$ 

Suy ra $\large G=CM\cap BN$ là trọng tâm tam giác $\large ABC$. 

Từ giả thiết suy ra $\large SG\perp (ABC)$

Tam giác $\large ABC$ vuông cân tại $\large C$, suy ra $\large CA=CB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}$ và $\large CM\perp AB$

Ta có $\large CM=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$, suy ra $\large GM=\frac{1}{3}CM=\frac{1}{2}$

$\large BG=\sqrt{BM^{2}+GM^{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2};SG=\sqrt{SB^{2}-GB^{2}}=1$

Diện tích tam giác: $\large S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}CA.CB=\frac{9}{4}$

Vậy thể tích khối chóp: $\large V_{S.ABC}=\frac{1}{3}S_{\bigtriangleup ABC}.SG=\frac{3}{4}$

Đáp án D