Cho hình chóp đều $\large S.ABCD$ có $\large SA=2a,AB=3a$. Tính góc gi

Cho hình chóp đều $\large S.ABCD$ có $\large SA=2a,AB=3a$. Tính góc giữa $\large SA$ và mặt phẳng đáy $\large ABC$

• A.

  A. $\large 30^{\circ}$

• B.

  B. $\large 45^{\circ}$

• C.

  C. $\large 60^{\circ}$

• D.

  D. $\large 90^{\circ}$

Gọi $\large H$ là hình chiếu vuông góc của $\large S$ trên $\large (ABC)$. 

Do $\large S.ABC$ là hình chóp đều nên $\large H$ là trọng tâm tam giác $\large ABC$ ($\large\bigtriangleup ABC$ đều nên trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác $\large ABC$ trùng nhau) (1)

Ta có: $\large SH\perp (ABC)$

$\large\Rightarrow \widehat{\left ( SA;(ABC) \right )}=\widehat{(SA;HA)}=\widehat{SAH}$

Gọi $\large I$  là trung điểm của $\large BC$, khi đó tam giác $\large ABC$ đều cạnh $\large 3a$ nên:

$\large AI=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AI=a\sqrt{3}$

Xét tam giác $\large SAH$ ta có: 

$\large\cos \widehat{SAH}=\frac{AH}{SA}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \widehat{SAH}=30^{\circ}$

Vậy $\large\widehat{\left ( SA;(ABC) \right )}=30^{\circ}$

Đáp án A