Cho hàm số $\large y=x^{3}+(1-2 m) x^{2}+(2-m) x+m+2(1)$. Tìm tập hợp

Cho hàm số $\large y=x^{3}+(1-2 m) x^{2}+(2-m) x+m+2(1)$. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

• A.

  A. $\large m \in\left(\dfrac{5}{4} ; \dfrac{7}{5}\right)$

• B.

  B. $\large m \in(-\infty ;-1) \cup\left(\dfrac{5}{4} ; \dfrac{7}{5}\right)$

• C.

  C. $\large m \in\left(\dfrac{7}{5} ;+\infty\right)$

• D.

  D. $\large m \in(2 ;+\infty)$

Chọn B

Cho hàm số $\large y^{\prime}=3 x^{2}+2(1-2 m) x+(2-m)$. $\large \Delta^{\prime}=(1-2 m)^{2}-3(2-m)=4 m^{2}-m-5$

Hàm số có hai cực trị $\large \Leftrightarrow \Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 4 m^{2}-m-5>0 \Leftrightarrow m \in(-\infty ;-1) \cup\left(\dfrac{5}{4} ;+\infty\right)\quad(1)$ 

Theo đề bài hoành độ cực tiểu là $\large x=\dfrac{2 m-1+\sqrt{4 m^{2}-m-5}}{3}<1$ $\large \Leftrightarrow \sqrt{4 m^{2}-m-5}<4-2 m$

$\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
4-2 m>0 \\
4 m^{2}-m-5 \geq 0 \\
4 m^{2}-m-5<(4-2 m)^{2}
\end{array}\right.$ $\large \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
m<2 \\
m \in(-\infty ;-1] \cup\left[\dfrac{5}{4} ;+\infty\right) \\
m<\dfrac{7}{5}
\end{array}\right.$ $\large \Leftrightarrow m \in(-\infty ;-1] \cup\left[\dfrac{5}{4} ; \dfrac{7}{5}\right)\quad(2)$

Từ (1), (2) suy ra $\large m \in(-\infty ;-1) \cup\left(\dfrac{5}{4} ; \dfrac{7}{5}\right)$ thỏa ycbt.