Cho hàm số $\Large y=x^{3}-3mx^{2}+3(m^{2}-1)x-m^{3}+m$ có đồ thị (C)

Cho hàm số $\Large y=x^{3}-3mx^{2}+3(m^{2}-1)x-m^{3}+m$ có đồ thị (C) và điểm I(1;1). Biết rằng có hai giá trị của tham số $\Large m$ (kí hiệu $\Large m_1,m_2$ với $\Large m_1 < m_2$) sao cho hai điểm cực trị của (C) cùng với I tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $\Large \sqrt{5}$. Tính $\Large P=m_1+5m_2$

• A. $\Large P=2$
• B. $\Large P=\dfrac{5}{3}$
• C. $\Large P=-\dfrac{5}{3}$
• D. $\Large P=-2$

* TXĐ: $\Large D=\mathbb{R}$

* Ta có

$\Large y'=3x^{2}-6mx+3(m^{2}-1);$

$\Large y'=0\Leftrightarrow \left[\begin{align}&x=m+1\\&x=m-1\\\end{align}\right.$

Giả sử hai điểm cực trị của (C) là A và B, khi đó: $\Large A(m+1;-2m-2);B(m-1;-2m+2)\Rightarrow AC=2\sqrt{5}=2R$ (Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABI). Vậy tam giác ABI vuông tại I

Ta có

$\Large A(m+1;-2m-2);B(m-1;-2m+2)\Rightarrow AB=2\sqrt{5}=2R$

$\Large \overrightarrow{IA}=(m;-2m-3),\overrightarrow{IB}=(m-2;-2m+1)$

$\Large \overrightarrow{IA},\overrightarrow{IB}=0\Leftrightarrow 5m^{2}+2m-3=0\Leftrightarrow$ $\Large \left[\begin{align}&m=-1\\&m=\dfrac{3}{5}\\\end{align}\right.$

Theo giả thiết ta có $\Large m_1=-1,m_2=\dfrac{3}{5}\Rightarrow P=2$