Cho $\Large m=\log_a(\sqrt[3]{ab})$ với $\Large a > 1, b > 1$ và $\Lar

Cho $\Large m=\log_a(\sqrt[3]{ab})$ với $\Large a > 1, b > 1$ và $\Large P=\log_a^{2}b+16\log_ba$. Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất

• A. $\Large m=\dfrac{1}{2}$
• B. $\Large m=4$
• C. $\Large m=1$
• D. $\Large m=2$

Ta có: $\Large m=\log_a(\sqrt[3]{ab})=\dfrac{1}{3}\log_a(ab)=\dfrac{1}{3}(1+\log_ab)$

$\Large \Rightarrow 3m=1+\log_ab\Rightarrow \log_ab=3m-1$

Do $\Large a > 1, b > 1$ nên $\Large \log_ab > \log_a1=0\Rightarrow m >\dfrac{1}{3}$

Ta có: $\Large P=\log_a^{2}b+16\log_ba=\log_a^{2}b+\dfrac{16}{\log_ab}=(3m-1)^{2}+\dfrac{16}{3m-1}$, với $\Large m\in\left(\dfrac{1}{3};+\infty\right)$

$\Large P'=6(3m-1)-\dfrac{48}{(3m-1)^{2}}$

$\Large P=0\Leftrightarrow 6(3m-1)-\dfrac{48}{(3m-1)^{2}}=0\Leftrightarrow (3m-1)^{3}=8\Leftrightarrow 3m-1=2\Leftrightarrow m=1$

Bảng biến thiên

Vậy $\Large minP=12\Leftrightarrow m=1$