Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng

Một cái hồ rộng có hình chữ nhật. Tại một góc nhỏ của hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí K cách bờ AB là 1m và cách bờ AC là 8m, rồi dùng một cây sào ngăn một góc nhỏ của hồ để thả bèo (như hình vẽ). Tính chiếu dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào 2 bờ AB, AC và cây cọc K (bỏ qua đường kính của sào)

• A. $\Large \dfrac{5\sqrt{65}}{4}$
• B. $\Large 5\sqrt{5}$
• C. $\Large 9\sqrt{2}$
• D. $\Large \dfrac{5\sqrt{71}}{4}$

Đặt AP = a, AQ = b (a,b > 0)

Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K xuống AB và AC

Suy ra $\Large KE=1,KF=8$

Ta có: $\Large \dfrac{KE}{AQ}=\dfrac{PK}{PQ};\dfrac{KF}{AP}=\dfrac{QK}{PQ}\RIghtarrow \dfrac{KF}{AP}+\dfrac{KE}{AQ}=1$ hay $\Large \dfrac{8}{a}+\dfrac{1}{b}=1$

Vì $\Large \dfrac{8}{a}+\dfrac{1}{b}=1$ nên $\Large b=\dfrac{a}{a-8}$. Do $\Large b > 0\Rightarrow a > 8$

Khi đó $\Large PQ^{2}=a^{2}+b^{2}=a^{2}+\left(\dfrac{a}{a-8}\right)^{2}$

Xét hàm số $\Large y=f(a)=a^{2}+\left(\dfrac{a}{a-8}\right)^{2}$ trên khoảng $\Large (8;+\infty)$

Ta có $\Large f'(a)=2a+\dfrac{2a}{a-8}.\dfrac{-8}{(a-8)^{2}=\dfrac{2a[(a-8)^{3}-8]}{(a-8)^{3}}$

$\Large f'(a)=0\Leftrightarrow (a-8)^{3}=8\Leftrightarrow a-8=2\Leftrightarrow a=10$

Bảng biến thiên

Do đó $\Large \underset{(8;+\infty)}f(a)=f(10)=125$

Vậy $\Large min\ PQ=\sqrt{125}=5\sqrt{5}$