Cho hàm số $\large y=\left|\dfrac{x^4+ax+a}{x+1}\right|$, với a là tha

Cho hàm số $\large y=\left|\dfrac{x^4+ax+a}{x+1}\right|$, với a là tham số thực. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\large [1; 2]$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để $\large M\geq 2m$?

• A. A. 10
• B. B. 14
• C. C. 5
• D. D. 20

Chọn B

Xét hàm số: $\large y=\dfrac{x^2+ax+1}{x+1}=\dfrac{x^4}{x+1}+a$

Ta có: $\large y'=\dfrac{3x^4+4x^3}{(x+1)^2}\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow $ $\large \left[\begin{align}& x=-\dfrac{4}{3}\\& x=0\\\end{align}\right.$

Bảng biến thiên: 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: $\large M=\max \left\{\left|a+\dfrac{1}{2}\right|; \,\, \left|a+\dfrac{16}{3}\right|\right\}$ và $\large m=\min \left\{\left|a+\dfrac{1}{2}\right|; \,\, \left|a+\dfrac{16}{3}\right|\right\}$

TH1: $\large a+\dfrac{1}{2}\geq 0\Leftrightarrow a\geq -\dfrac{1}{2}\Rightarrow $ $\large \left\{\begin{align}& M=\left|a+\dfrac{16}{3}\right|=a+\dfrac{16}{3}\\& m=\left|a+\dfrac{1}{2}\right|=a+\dfrac{1}{2}\\\end{align}\right. $ $\large $

Khi đó $\large M\geq 2m\Leftrightarrow a+\dfrac{16}{3}\geq 2\left(a+\dfrac{1}{2}\right)\Leftrightarrow a\leq \dfrac{13}{3}$

Kết hợp điều kiện, ta có: $\large -\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{13}{3}$ có 5 giá trị nguyên thỏa mãn điều kiện

TH2: $\large a+\dfrac{16}{3}\leq 0\Leftrightarrow a\leq -\dfrac{16}{3}\Rightarrow $ $\large \left\{\begin{align}& M=\left|a+\dfrac{1}{2}\right|=-a-\dfrac{1}{2}\\& m=\left|a+\dfrac{16}{3}\right|=-a-\dfrac{16}{3}\\\end{align}\right. $

$\large M\geq 2m\Leftrightarrow -a-\dfrac{1}{2}\geq -2\left(-a-\dfrac{16}{3}\right)\Leftrightarrow a\geq -\dfrac{61}{6}$

Kết hợp điều kiện ta có: $\large -\dfrac{61}{6}\leq a\leq -\dfrac{16}{3}$. Suy ra có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn

TH3: $\large \left\{\begin{align}& a+\dfrac{1}{2}<0\\& a+\dfrac{16}{3}>0\\\end{align}\right.$ $\large \Leftrightarrow -\dfrac{16}{3}

Nếu $\large \left|a+\dfrac{1}{2}\right|>\left|a+\dfrac{16}{3}\right|\Leftrightarrow -a-\dfrac{1}{2}>a+\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow a<-\dfrac{35}{12}$ thì 

$\large \left\{\begin{align}& M=-a-\dfrac{1}{2}\\& m=a+\dfrac{16}{3}\\\end{align}\right. $ $\large \Rightarrow M\leq 2m\Leftrightarrow -a-\dfrac{1}{2}\geq 2\left(a+\dfrac{16}{3}\right)\Leftrightarrow a\leq -\dfrac{67}{18}$ 

Kết hợp điều kiện, ta có $\large -\dfrac{19}{9}\leq a<-\dfrac{1}{2}$. Suy ra có 2 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện

Vậy co 14 giá trị nguyên của a thỏa mãn điều kiện