Cho hàm số $\large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\large \mathbb{R}$. Gọi $\

Cho hàm số $\large y=f(x)$ có đạo hàm trên $\large \mathbb{R}$. Gọi $\large d_1, d_2$ lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\large y=f(x)$ và $\large y=xf(2x-1)$ tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết hai đường thẳng $\large d_1, d_2$ vuông góc với nhau, khẳng định nào sau đây là đúng?

• A.

  A. $\large 2\leq |f(1)|<2\sqrt{2}$

• B.

  B. $\large |f(1)|\geq 2\sqrt{2}$

• C.

  C. $\large \sqrt{2}<|f(1)|<2$

• D.

  D. $\large |f(1)|\leq \sqrt{2}$

Chọn B

Vì $\large d_1$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\large y=f(x)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 nên $\large d_1$ có hệ số góc $\large k_1=f'(1)$

Ta có: $\large [xf(2x-1)]'=f(2x-1)+2xf'(2x-1)$

Vì $\large d_2$ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\large y=xf(2x-1)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 nên $\large d_2$ có hệ số góc $\large k_2=f(1)+2f'(1)$

Mặt khác, hai đường thẳng $\large d_1, d_2$ vuông góc với nhau nên $\large k_1.k_2=-1$

Từ đó, $\large 2[f'(1)]^2+f'(1).f(1)=-1$

Suy ra: $\large 2\left[f'(1)+\dfrac{1}{4}f(1)\right]^2=\dfrac{1}{8}[f(1)]^2-1$. Dẫn đến $\large |f(1)|\geq 2\sqrt{2}$