Cho hàm số $\Large y=f(x)$ xác định trên $\Large \mathbb{R}\backslash

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ xác định trên $\Large \mathbb{R}\backslash \left \{1\right \}$ thỏa mãn $\Large {f}'(x)=\frac{1}{x-1},f(0)=2018,f(2)=2019$. Giá trị của $\Large f(3)-f(-1)$ bằng

• A.

  $\Large 1$

• B.

  $\Large \ln 4$

• C.

  $\Large \ln 4037$

• D.

  $\Large 0$

Cách 1: Tự luận

Có $\Large f(x) = \int f'(x)dx=\int \dfrac{1}{x-1}dx=\ln|x-1| +C$, suy ra $\Large f(x)= \left\{\begin{matrix}\ln (x-1)+C_1, \,khi\, x>1\\ \ln (1-x)+C_2, \, khi \,x<1\end{matrix}\right.$

Do $\Large f(0)=2018,f(2)=2019$ nên $\Large C_2=2018, C_1=2019$

Khi đó: $\Large f(3)-f(-1)=\ln2+C_1-(\ln2+C_2)=C_1-C_2=1$

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Ta có:

$\Large f(3)-f(-1)=f(3)-f(2)+f(0)-f(-1)+f(2)-f(0)$

$\Large =\int_{2}^{3}f'(x)dx+\int_{-1}^{0}f'(x)dx+f(2)-f(0)$

$\Large =\int_{2}^{3}\dfrac{1}{x-1}dx+\int_{-1}^{0}\dfrac{1}{x-1}dx+f(2)-f(0)=1$