Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏ

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn $\Large f(0)=2$ và $\Large {f}'(x).e^{f(x)-x^2-2}=2x, \forall x \in [0; 1]$. Tính giá trị của $\Large \int\limits_{0}^{1}f(x)dx$

• A.

  $\Large \dfrac{5}{3}.$

• B.

  3.

• C.

  $\Large \dfrac{7}{3}.$

• D.

  2.

Chọn C

Ta có: $\Large {f}'(x).e^{f(x)}=e^{x^2+2}.2x \Rightarrow \int {f}'(x).e^{f(x)}\mathrm{d}x=\int e^{x^2+2}.2x\mathrm{d}x \Rightarrow e^{f(x)}=e^{x^2+2}+C$

Thay $\Large x=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow f(x)=x^2+2$

Suy ra $\Large \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=\dfrac{7}{3}$