Tìm tất cả các giá trị nguyên của $\Large m$ trên $\Large (-2021; 2021

Tìm tất cả các giá trị nguyên của $\Large m$ trên $\Large (-2021; 2021)$ thỏa mãn $\Large \left(\sqrt{m^2-2m+4}+1-m\right)\left(\sqrt{4^m+3}-2^m\right)\geq 3$.

• A. 1.
• B. 0.
• C. 2020.
• D. 2021.

Chọn D

Ta có $\Large \sqrt {{4^m} + 3}  - {2^m} > {2^m} - {2^m} \ge 0$ nên $\Large \left(\sqrt{m^2-2m+4}+1-m\right)\left(\sqrt{4^m+3}-2^m\right)\geq 3$

$\Large \Leftrightarrow \sqrt{m^2-2m+4}+1-m\geq \dfrac{3}{\sqrt{4^m+3}-2^m}$

$\Large \Leftrightarrow \sqrt{m^2-2m+4}+1-m\geq \sqrt{4^m+3}+2^m$

$\Large \Leftrightarrow \sqrt{(1-m)^2+3}+1-m\geq \sqrt{4^m+3}+2^m$ (1)

Xét hàm số $\Large f(t)=\sqrt{t^2+3}+t$, $\Large {f}'(t)=\dfrac{t}{\sqrt{t^2+3}}+1 > 0$ với mọi $\Large t$.

Do đó $\Large f(t)$ đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$. Suy ra 

(1) $\Large \Leftrightarrow 1-m\geq 2^m$ $\Large \Leftrightarrow 2^m+m-1\leq 0$.

Mặt khác, hàm số $\Large g(x)=2^x+x-1$ có $\Large {g}'(x)=2^x.\ln 2+1 > 0$ với mọi $\Large x$.

Do đó, hàm số $\Large y=g(x)$ đồng biến trên $\Large \mathbb{R}$ và ta có $\Large g(0)=0$. Suy ra

$\Large 2^m+m-1\leq 0\Leftrightarrow m\leq 0$.

Kết hợp với giả thiết, $\Large m$ nguyên và $\Large m\in (-2021; 2021)$ nên $\Large m\in$ $\Large \begin{Bmatrix}-2020; -2019; 0 \end{Bmatrix}$.

Vậy có 2021 giá trị nguyên của $\Large m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.