Cho hàm số $\Large y=f(x)$ biết $\Large f(0)=\dfrac{1}{2}$ và $\Large

Cho hàm số $\Large y=f(x)$ biết $\Large f(0)=\dfrac{1}{2}$ và $\Large f'(x)=x.e^{x^2}$ với mọi $\Large x\in \mathbb{R}$. Khi đó tích phân $\Large I=\int\limits_0^1xf(x)\mathrm{d}x$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{e+1}{4}$.

• B.

  $\Large \dfrac{e-1}{4}$.

• C.

  $\Large \dfrac{e-1}{2}$.

• D.

  $\Large \dfrac{e+1}{2}$.

Ta có $\Large \int x.e^{x^2}\mathrm{d}x$=$\Large \dfrac{1}{2}\int e^{x^2}\mathrm{d}(x^2)$=$\Large \dfrac{1}{2}e^{x^2}+C$.

Mặt khác $\Large f(0)=\dfrac{1}{2}\Rightarrow C=0$

Do đó $\Large f(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2}$.

$\Large I=\int\limits_0^1xf(x)\mathrm{d}x$=$\Large \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1x.e^{x^2}\mathrm{d}x$=$\Large \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1e^{x^2}\mathrm{d}(x^2)$=$\Large \dfrac{1}{4}e^{x^2}\Bigg|_0^1=\dfrac{e-1}{4}$.