Cho hàm số $\Large y = f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}$ và $\

Cho hàm số $\Large y = f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}$ và $\Large f(x)> 0, \forall x \in\mathbb{R}$. Biết $\Large f'(x) = f(x)e^{x}$ và f(1) = e. Kết quả của $\Large J = \int_0^{2}\ln(f(x))dx $ bằng

• A. A. $\Large e^{2} - e +1$
• B. B. $\Large e^{2} - 2e -1$
• C. C. $\Large e^{2} - 2e +1$
• D. D. $\Large e^{4} - 2e -1$

Từ giả thiết ta có

$\Large \dfrac{f'(x)}{f(x)} = e^{x} \Rightarrow \int\dfrac{f'(x)}{f(x)}dx = \int e^{x} dx \Rightarrow \ln(f(x)) = e^{x} +C$

Vì f(1) = e nên

$\Large e + C = \ln f(1) = 1\Rightarrow C = 1-e$

Suy ra $\Large \ln(f(x)) = e^{x} +1 -e$

Vậy $\Large J = \int_0^{2}(e^{x} + 1 - e)dx = [e^{x}+(1-e)x]|_0^{2} = e^{2} - 2e +1$