Cho các số thực a,b >1 và các số dương x, y thay đổi thỏa mãn $\Large

Cho các số thực a,b >1 và các số dương x, y thay đổi thỏa mãn $\Large a^{x} = b^{y} = ab$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $\Large P = \dfrac{16}{x} - y^{2}$ bằng

• A. A. 16
• B. B. 0
• C. C. 40
• D. D. 4

Đặt $\Large a^{x} = b^{y} = ab = t$, rõ ràng $\Large 0

$\Large \left\{\begin{align}&x = \log_at\\&y = \log_bt\\&ab = t\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&log_ta = \dfrac{1}{x} = \log_tb = \dfrac{1}{y}\\& \log_tab=1\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 1$

Suy ra $\Large P = \dfrac{16}{x} - y^{2} = 16\left(1-\dfrac{1}{y}\right) - y^{2} = 16 - \dfrac{16}{y} - y^{2}$

Mặt khác, $\Large 16 - \dfrac{16}{y} - y^{2} = 16 - \left(\dfrac{8}{y} + \dfrac{8}{y} + y^{2}\right) \leq 16 - 3\sqrt[3]{\dfrac{8}{y}.\dfrac{8}{y}.y^{2}} = 16 - 3.4 = 4$

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi y = 2, x = 2

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng 4 khi x = 2, y = 2