Gọi $\Large \alpha$ và $\Large \beta$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và

Gọi $\Large \alpha$ và $\Large \beta$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $\Large f(x) = |x^{3} - 12x +m|$ trên đoạn [0; 3]. Gọi S là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số $\Large m \in [-40; 40]$ để $\Large 2 \alpha >\beta $. Số phần tử của tập S là

• A. A. 27
• B. B. 41
• C. C. 32
• D. D. 33

Xét hàm số $\Large g(x) = x^{3} - 12x +m$ xác định và liên tục trên đoạn [0; 3]

Ta có $\Large g'(x) = 3x^{2} - 12$ trên đoạn [0; 3], phương trình f'(x) = 0 chỉ có nghiệm x = 2. 

Lại có g(0) = m, g(2) = m -16, g(3) = m-9

Vậy $\Large \underset{[0; 3]}{\min}g(x) = m -16$ và $\Large \underset{[0; 3]}{\max}g(x) = m$

Do đó $\Large \beta = \underset{[0; 3]}{\max}f(x) = \max\left\{|m-16|; |m|\right\}$

Vì $\Large 2\underset{[0; 3]}{\min} f(x) > \underset{[0; 3]}{\max}f(x)$ nên $\Large \underset{[0; 3]}{\min}f(x)>0$

Suy ra đồ thị hàm số g(x) không cắt trục hoành

$\Large \cdot$ Trường hợp 1: Đồ thị hàm số g(x) nằm trên trục Ox, suy ra

$\Large \left\{\begin{align}&\underset{[0; 3]}{\min}g(x) = m - 16>0\\& \beta = |m| = m\\& \alpha = |m-16| = m -16\\& 2(m-16) >m\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m>16\\&2m-32>m\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m>16\\&m>32\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow m>32$

$\Large \cdot$ Trường hợp 2: Đồ thị hàm số y = g(x) nằm dưới trục Ox, suy ra

$\Large \left\{\begin{align}&\underset{x\in[0; 3]}{max}g(x) = m<0\\& \beta = |m-16| = 16-m\\& \alpha = |m| = -m \\& 2.(-m)>16-m\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}&m<0\\&-2m>16-m\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align}& m < 0\\& m<-16\\\end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow m<-16$

Kết hợp (*), (**) và $\Large m\in[-40; 40]$ ta được $\Large m \in [-40; -16) \cup (32; 40]$

Mà m là số nguyên thuộc nên có tất cả 24 + 8 = 32 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu của bài toán