Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn $\Large \log_3(

Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn $\Large \log_3(x+2y) = \log_2(x^{2}+y^{2})$?

• A. A. 2
• B. B. 1
• C. C. Vô số
• D. D. 3

Điều kiện xác định $\Large \left\{\begin{align}&x+2y > 0\\&x\neq0\\&y\neq0\\\end{align}\right.$

Đặt $\Large \log_3(x+2y) = \log_2(x^{2}+y^{2})= t$ khi đó

$\Large \left\{\begin{align}&x+2y = 3^{t}\\&x^{2}+y^{2} = 2^{t}\\\end{align}\right.$

Ta có $\Large (x+2y)^{2} \leq (1+4)(x^{2}+y^{2}) = 5(x^{2}+y^{2})$ nên $\Large 9^(t) \leq 5.2^{t} \Leftrightarrow \left(\dfrac{9}{2}\right)^{t} \leq 5 \Leftrightarrow t \leq \log_{\dfrac{9}{2}}5$

Suy ra $\Large x^{2} + y^{2} = 2^{t} \leq 2^{\log_{\dfrac{9}{2}}5} \approx 2,1$

Vì $\Large y \in \mathbb{Z}$ nên $\Large y \in \left\{-1; 0; 1\right\}$

Với y = -1, $\Large \Rightarrow \log_3{(x-2)}=\log_2{(x^2+1)} \xrightarrow{Casio}  \text{vô nghiệm}$

Với y = 0 thì hệ (*) trở thành

$\Large \left\{\begin{align}&x = 3^{t}\\&x^{2} = 2^{t}\\\end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow 9^t=2^t\Leftrightarrow t=0\Leftrightarrow x=1$

Với y = 1 thì hệ (*) trở thành

$\Large \left\{\begin{align}&x+2 = 3^{t}\\&x^{2}+1 = x^{t}\\\end{align}\right.$ $\Large (3^{t}-2)^{2} = 2^{t}-1$

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm t = 1, suy ra x = 1

Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn y = 0, y = 1