Cho hàm số $\Large y = f(x)$ có đạo hàm $\Large f'(x) = x(x-3)^{2}(x^{

Cho hàm số $\Large y = f(x)$ có đạo hàm $\Large f'(x) = x(x-3)^{2}(x^{2} - 2mx + 4m -3)$. Gọi S là tập tất cả những giá trị nguyên của m trên đoạn [-10; 15] để hàm số $\Large y = f(1-x)$ đồng biến trên khoảng $\Large (1; +\infty)$. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng

• A. A. 120
• B. B. -15
• C. C. -120
• D. D. 240

Ta có

$\Large y' = [f(1-x)]' = -f(1-x) = -(1-x)(2+x)^{2}[x^{2}+2(m-1)x+2m-2]$

Hàm số $\Large y = f(1-x)$ đồng biến trên $\Large (1; +\infty)$ khi $\Large y'\geq0, \forall x \in (1; +\infty)$. Điều này tương đương với

$\Large -f(1-x)\geq 0, \forall x \in (1; +\infty)$

$\Large \Leftrightarrow -(1-x)(2+x)^{2}[x^{2}+2(m-1)x+2m-2]\geq 0, \forall x \in (1; +\infty)$

$\Large \Leftrightarrow x^{2} + 2(m-1)x + 2m -2 \geq 0, \forall x \in (1; +\infty)$

$\Large \Leftrightarrow x^{2} - 2x -2 +2m(x+1) \geq 0, \forall x \in (1; +\infty)$

$\Large \Leftrightarrow m \geq \dfrac{-x^{2}+2x+2}{2(x+1)}, \forall x \in (1; +\infty)$

$\Large\Leftrightarrow m \geq \dfrac{3}{4}$

Vì $\Large m \in \mathbb{Z}, m \in [-10; 15]$ và $\Large m \geq \dfrac{3}{4}$ nên $\Large m \in \left\{1; 2;...; 15\right\}$

Do đó tổng các dố nguyên từ 1 đến 15 là $\Large S = \dfrac{(1+15)15}{2} = 120$