Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large \left ( f{}'(x) \right )^{2}

Cho hàm số $\Large f(x)$ thỏa mãn $\Large \left ( f{}'(x) \right )^{2} + f(x).f{}''(x) = 15x^{4} + 12x, \forall x \in \mathbb{R}$ và $\Large f(0) = f{}'(0) = 1$. Giá trị $\Large f^{2}(1)$ bằng

 

 

• A.

  9

• B.

  16

• C.

  8

• D.

  10

Chọn C

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

$\Large \int \left [ \left ( f{}'(x) \right )^{2} + f(x).f{}''(x) \right ] dx = \int \left ( 15x^{4} + 12x\right )dx$

$\Large \Leftrightarrow \int \left [ f(x). f{}'(x) \right ]{}' dx = \int \left ( 15x^{4} + 12x \right )dx$

$\Large \Leftrightarrow f(x).f{}'(x) = 3x^{5} + 6x^{2} + C$

Theo đề bài, ta có $\Large f(0). f{}'(0) = C$

$\Large \Rightarrow C = 1$

$\Large \int_{0}^{1}[f(x).f{}'(x)]dx = \int_{0}^{1}\left ( 3x^{5} + 6x^{2} + 1\right )dx$

$\Large \Leftrightarrow \int_{0}^{1}f(x)d[f(x)] = \left ( \dfrac{x^{6}}{2} + 2x^{3} + x\right )|_{0}^{1} = \dfrac{7}{2}$

Suy ra $\Large \left [ \dfrac{f^{2}(x)}{2} \right ]\bigg|_{0}^{1} = \dfrac{7}{2}$

$\Large \Leftrightarrow f^{2}(1) - f^{2}(0) = 7$

$\Large \Rightarrow f^{2}(1) = 8$.