Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên tập số thực thỏa mãn $\Large f(

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên tập số thực thỏa mãn $\Large f(x)+(5x-2)f(5x^2-4x)=50x^3-60x^2+23x-1$, $\Large \forall x\in \mathbb{R}$. Hãy tính $\Large \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x$.

• A. 2.
• B. 1.
• C. 3.
• D. 6.

Theo giả thiết: $\Large f(x)+(5x-2)f(5x^2-4x)=50x^3-60x^2+23x-1$, $\Large \forall x\in \mathbb{R}$.

Suy ra $\Large 2f(x)+(10x-4)f(5x^2-4x)=100x^3-120x^2+46x-2$

$\Large \Rightarrow \int\limits_0^1\left(2f(x)+(10x-4)f(5x^2-4x)\right)\mathrm{d}x$=$\Large \int\limits_0^1(100x^3-120x^2+46x-2)\mathrm{d}x$

$\Large \Rightarrow 2\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_0^1(10x-4)f(5x^2-4x)\mathrm{d}x$=$\Large \left(\dfrac{100}{4}x^4-\dfrac{120}{3}x^3+\dfrac{46}{2}x^2-2x\right)\Bigg|_0^1$ (*).

Xét $\Large I=\int\limits_0^1(10x-4)f(5x^2-4x)\mathrm{d}x$. Đặt $\Large t=5x^2-4x\Rightarrow \mathrm{d}t=(10x-4)\mathrm{d}x$.

Đổi cận: $\Large x=0\Rightarrow t=0$; $\Large x=1\Rightarrow t=1$

Khi đó $\Large I=\int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t$.

(*) trở thành $\Large 2\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x+\int\limits_0^1f(t)\mathrm{d}t=6$ $\Large \Leftrightarrow 3\int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=6$ $\Large \Leftrightarrow \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=2$.

Vậy $\Large \int\limits_0^1f(x)\mathrm{d}x=2$.