Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và có bảng

Cho hàm số $\Large f(x)$ liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và có bảng biến thiên:

Hàm số $\Large g(x)=f(x^2)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

• A.

  $\Large (-1; 1)$.

• B.

  $\Large (2; 4)$.

• C.

  $\Large (1; 2)$.

• D.

  $\Large (-\infty; -1)$.

Chọn C

Xét đạo hàm $\Large g'(x)=\left(f(x^2)\right)'=2x.f'(x^2)$

Để hàm $\Large g(x)$ đồng biến thì $\Large g'(x)=2x.f'(x^2)\geq 0$

Trường hợp 1: $\Large \left\{\begin{align} & x\geq 0 \\ & f'(x^2)\geq 0 \end{align}\right.$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:
Vì $\Large x^2\geq 0$ nên $\Large f'(x^2)\geq 0$ khi $\Large 1\leq x^2\leq 4$

Kết hợp với điều kiện $\Large x\geq 0$ ta được $\Large 1\leq x\leq 2$ thỏa mãn bài toán.

Trường hợp 2: $\Large \left\{\begin{align} & x\leq 0 \\ & f'(x^2)\leq 0 \end{align}\right.$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

$\Large f'(x^2)\leq 0$ khi $\Large \left[\begin{align} & x^2\leq 1 \\ & x^2\geq 4 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow -1\leq x\leq 1$ hoặc $\Large \left[\begin{align} & x\geq 2 \\ & x\leq -2 \end{align}\right.$.

Kết hợp với điều kiện $\Large x\leq 0$ ta được $\Large -1\leq x\leq 0$ hoặc $\Large x\leq -2$ thỏa mãn bài toán.

Như vậy, hàm $\Large g(x)$ đồng biến trên các khoảng $\Large (-1; 0), (1; 2)$ và $\Large (-\infty; -2)$.