Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm trên đoạn [1; 4]. Biết $\Large 2xf

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm trên đoạn [1; 4]. Biết $\Large 2xf'(x)+f(x)=2x\sqrt{x}$, $\Large f(1)=\dfrac{3}{2}$. Giá trị $\Large f(4)$ là

• A.

  2.

• B.

  $\Large \dfrac{3}{2}$.

• C.

  4.

• D.

  $\Large \dfrac{9}{2}$.

Chọn D
Xét trên đoạn [1; 4] thì $\Large 2xf'(x)+f(x)=2x\sqrt{x}$ $\Large \Leftrightarrow \sqrt{x}f'(x)+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}f(x)=x$

$\Large \Rightarrow \big(\sqrt{x}f(x)\big)'=x$

$\Large \Rightarrow \int\big(\sqrt{x}f(x)\big)'\mathrm{d}x=\int x\mathrm{d}x$

$\Large \Rightarrow \sqrt{x}f(x)=\dfrac{x^2}{2}+C$ (1)

Thay $\Large x=1$ vào hai vế của (1) ta có: $\Large f(1)=\dfrac{1}{2}+C\Rightarrow C+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow C=1$.

Vậy $\Large \sqrt{x}f(x)=\dfrac{x^2}{2}+1$ (2)

Thay $\Large x=4$ vào hai vế của (2) ta được: $\Large \sqrt{4}.f(4)=\dfrac{4^2}{2}+1\Rightarrow f(4)=\dfrac{9}{2}$.