Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R},

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}, f(0)=0,f'(0)\neq 0$ và thỏa mãn hệ thức $\Large f(x).f'(x)+18x^2=(3x^2+x).f'(x)+(6x+1)f(x), \forall x\in\mathbb{R}$.

Biết $\Large \int_{0}^{1}(x+1)e^{f(x)}dx=a.e^2+b$, với $\Large a,b \in \mathbb{Q}$. Giá trị của $\Large a-b$ bằng

• A.

  $\dfrac{1}{2}$

• B.

  $\dfrac{3}{4}$

• C.

  $\dfrac{1}{4}$

• D.

  1

Ta có: $\Large f(x).f'(x)+18x^2=(3x^2+x).f'(x)+(6x+1)f(x)$

$\large \Rightarrow \int \left [ f(x).f'(x)+18x^2 \right ]dx=\int\left [ (3x^2+x).f'(x)+(6x+1)f(x) \right ]dx$

$\Large \Rightarrow \int \left [ \dfrac{1}{2}f(x)^2+6x^3 \right ]dx=\int\left [ (3x^2+x).f(x) \right ]'dx$$\Large \Rightarrow \dfrac{1}{2}f(x)^2+6x^3=(3x^2+x).f(x)+C$, với C là hằng số

Mặt khác, theo giả thiết $\Large f(0)=0$ nên $\Large C=0$

Khi đó: $\Large \dfrac{1}{2}f(x)^2+6x^3=(3x^2+x).f(x), \, (1), \forall x\in \mathbb{R}$

$\Large (1) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}f(x)^2+6x^3=(3x^2+x).f(x)$$\Large \Leftrightarrow [f(x)-2x][f(x)-6x^2]=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}f(x)=2x\\f(x)=6x^2\end{matrix}\right.$

Trường hợp 1: Với $\Large f(x)=6x^2,\forall x\in\mathbb{R}$, ta có $\Large f'(0)=0 (L)$

Trường hợp 2: Với $\Large f(x)=2x,\forall x\in\mathbb{R}$, ta có:

$\Large \int_{0}^{1}(x+1)e^{f(x)}dx=\int_{0}^{1}(x+1)e^{2x}dx=\left [ \dfrac{(x+1)e^{2x}}{2} \right ]\bigg|_0^1-\int_{0}^{1}\dfrac{e^{2x}}{2}\\\\\Large =\dfrac{3}{4}e^{2}-\dfrac{1}{4}$$\Large \Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=\dfrac{3}{4}\\ b=-\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\Rightarrow a-b=1$