Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\Large \mathbb{R}$ và thỏa mãn $\Large f(x) > 0 \forall x\in \mathbb{R}$. Biết $\Large f(0)=1$ và $\Large {f}'(x)=(1-3x)f(x)$. Khi đó $\Large f(1)$ bằng

• A.

  $\Large \dfrac{1}{2}$.

• B.

  2.

• C.

  $\Large e^{-\frac{1}{2}}$.

• D.

  $\Large e^{\frac{1}{2}}$.

Chọn C
Ta có $\Large \dfrac{{f}'(x)}{f(x)}=1-3x \Rightarrow \int\dfrac{{f}'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\int(1-3x)\mathrm{d}x$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{ln}|f(x)|=x-\dfrac{3x^2}{2}+C$

$\Large \Leftrightarrow \mathrm{ln}f(x)=x-\dfrac{3x^2}{2}+C$ (vì $\Large f(x) > 0 \forall x\in \mathbb{R}$) $\Large \Leftrightarrow f(x)=e^{x-\frac{3x^2}{2}+C}$

$\Large f(0)=1\Rightarrow C=0\Rightarrow f(x)=e^{x-\frac{3x^2}{2}}$$\Large \Rightarrow f(1)=e^{-\frac{1}{2}}$.