Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\Large [0;5]$

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\Large [0;5]$ và thỏa mãn $\Large f(x)+{f}'(x)=e^{-x}\sqrt{3x+1},  \forall x \in [0; 5].$ Biết $\Large f(0)=0.$ Tính $\Large f(5).$

• A.

  A. $\Large \dfrac{13}{e^5}.$

• B.

  B. $\Large \dfrac{14}{e^5}.$

• C.

  C. $\Large \dfrac{9}{e^5}.$

• D.

  D. $\Large \dfrac{11}{e^5}.$

Chọn B

$\Large f(x)+{f}'(x)=e^{-x}\sqrt{3x+1}$
$\Large \Leftrightarrow e^x.f(x)+e^x{f}'(x)=\sqrt{3x+1}$
$\Large \Leftrightarrow {\big[e^x.f(x)\big]}'=\sqrt{3x+1}$
$\Large \Rightarrow e^x.f(x)=\int \sqrt{3x+1}\mathrm{d}x$
$\Large \Rightarrow e^x.f(x)=\dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3}\sqrt{(3x+1)^3}+C \ (1)$
Thay $\Large x=0$ vào $\Large (1)$: $\Large f(0) =\dfrac{2}{9}+C$ $\Large \Leftrightarrow C=-\dfrac{2}{9}$
$\Large \Rightarrow f(x)=\dfrac{2}{9}\sqrt{(3x+1)^3}.e^{-x}-\dfrac{2}{9}.e^{-x}$ $\Large \Rightarrow f(5)=\dfrac{128}{9e^5}-\dfrac{2}{9e^5}=\dfrac{14}{e^5}.$