Số các giá trị nguyên của $\Large m \in [5; 2020]$ để phương trình $\L

Số các giá trị nguyên của $\Large m \in [5; 2020]$ để phương trình $\Large x\mathrm{log}x+xe^{\dfrac{-1}{x}}-\bigg(x+e^{\dfrac{-1}{x}}\bigg)m$ $\Large =m\mathrm{log}x-1$ có đúng 2 nghiệm thực là:

• A.

  A. $\Large 2013.$

• B.

  B. $\Large 2016.$

• C.

  C. $\Large 2014.$

• D.

  D. $\Large 2015.$

Chọn B

$\Large x\mathrm{log}x+xe^{\dfrac{-1}{x}}-\bigg(x+e^{\dfrac{-1}{x}}\bigg)m=m\mathrm{log}x-1 (x > 0)$

$\Large (x-m)\mathrm{log}x+(x-m)e^{\dfrac{-1}{x}}=mx-1$
$\Large \Leftrightarrow (x-m)\bigg(\mathrm{log}x+e^{\dfrac{-1}{x}}\bigg)=mx-1$
$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}x+e^{\dfrac{-1}{x}}=\dfrac{mx-1}{x-m} (x\neq m)$
$\Large \Rightarrow g(x)=\mathrm{log}x+e^{\dfrac{-1}{x}}+\dfrac{-mx+1}{x-m} (x\neq m; x > 0)$
$\Large \Rightarrow {g}'(x)=\dfrac{1}{x\mathrm{ln}10}+\dfrac{1}{x^2}e^{\dfrac{-1}{x}}+\dfrac{m^2-1}{(x-m)^2}>0,$ $\Large \forall x > 0, m \in [5; 2020]$

Bảng biến thiên: 

Căn cứ vào BBT thì đường thẳng $\Large y=0$ luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt.

Vậy $\Large m \in [5; 2020]$

$\Large \Rightarrow$ Có $\Large 2016$ giá trị $\Large m$ nguyên thỏa mãn bài toán.