Cho hàm số $\Large y=\dfrac{x+m}{x^2+1}$ với $\Large m$ là tham số. Bi

Cho hàm số $\Large y=\dfrac{x+m}{x^2+1}$ với $\Large m$ là tham số. Biết rằng trên đồ thị hàm số có 3 điểm $\Large A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C)$ phân biệt thỏa mãn $\Large {y}''(x_A)={y}''(x_B)={y}''(x_C)=0$ và $\Large A, B, C$ thẳng hàng. Giá trị thích hợp của $\Large m$ để đường thẳng $\Large AB$ đi qua điểm $\Large S(-1; 4)$ thuộc khoảng nào sau đây?

• A.

  A. $\Large [8; 12).$

• B.

  B. $\Large [2; 5).$

• C.

  C. $\Large (0; 2).$

• D.

  D. $\Large [5; 8).$

Chọn D

+) Ta có $\Large y=\dfrac{x+m}{x^2+1} \Rightarrow {y}'=\dfrac{-x^2-2mx+1}{(x^2+1)^2}.$

+) $\Large {y}''=\dfrac{(-2x-2m)(x^2+1)^2-(-x^2-2mx+1).2(x^2+1).2x}{(x^2+1)^4}$ $\Large =\dfrac{(-2x-2m)(x^2+1)-4(-x^2-2mx+1)x}{(x^2+1)^3}$ $\Large =\dfrac{2x^3+6mx^2-6x-2m}{(x^2+1)^3}.$

+) Theo giả thiết $\Large x_A, x_B, x_C$ là nghiệm của phương trình $\Large {y}''=0$ nên ta có

$\Large \left\{\begin{align} &x_A+x_B+x_C=-3m \\ & x_Ax_B+x_Bx_C+x_CxA=-3 \\ &x_Ax_Bx_C=m \end{align}\right. (I)$

+) Đường thẳng $\Large AB$ qua điểm $\Large S$ nên có dạng $\Large y=k(x+1)+4, k\neq 0.$

Phương trình hoành độ giao điểm của $\Large AB$ và đồ thị hàm số $\Large y=\dfrac{x+m}{x^2+1}$ là:

$\Large \dfrac{x+m}{x^2+1}=k(x+1)+4$ $\Large \Leftrightarrow x+m=(x^2+1)\big[k(x+1)+4 \big]$ $\Large \Leftrightarrow kx^3 + (k+4)x^2+(k-1)x+k+4-m=0.$

+) Áp dụng định lý Vi-ét, ta có $\Large \left\{\begin{align} &x_A+x_B+x_C=-\dfrac{(k+4)}{k} \\ & x_Ax_B+x_Bx_C+x_Cx_A=\dfrac{k-1}{k} \\ & x_Ax_Bx_C=\dfrac{m-k-4}{k} \end{align}\right. (II)$

+) Từ $\Large (I)$ và $\Large (II)$, ta có $\Large \left\{\begin{align} &\dfrac{-(k+4)}{k}=-3m \\ & \dfrac{k-1}{k}=-3 \\ & \dfrac{m-k-4}{k}=m \end{align}\right.$ $\Large \Rightarrow \left\{\begin{align} &k=\dfrac{1}{4}\\ &m=\dfrac{17}{3} \approx 5,67 \end{align}\right.$