Cho hai số thực dương $\Large x; y$ thỏa mãn $\Large \mathrm{log}x+x(x

Cho hai số thực dương $\Large x; y$ thỏa mãn $\Large \mathrm{log}x+x(x+y) \geq \mathrm{log}(4-y)+4x.$ Khi biểu thức $\Large P=10x+18y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{147}{y}$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị tích $\Large xy$ thuộc khoảng nào sau đây?

• A.

  A. $\Large (2; 3).$

• B.

  B. $\Large (3; 4).$

• C.

  C. $\Large (0; 1).$

• D.

  D. $\Large (1; 2).$

Chọn D

Từ giả thiết ta có điều kiện xác định: $\Large \left\{\begin{align} & x > 0 \\ & 0 < y < 4 \end{align}\right.$

Khi đó:

$\Large \mathrm{log}{x}+x(x+y) \geq \mathrm{log}(4-y) +4x$ $\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}x+x^2 \geq \mathrm{log}(4-y)+x(4-y)$
$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}x+\mathrm{log}x+x^2 \geq \mathrm{log}x+\mathrm{log}(4-y)+x(4-y)$ (Cộng cả hai vế với $\Large \mathrm{log}x$)
$\Large \Leftrightarrow \mathrm{log}x^2+x^2 \geq \mathrm{log}x(4-y)+x(4-y) \ (*).$
Xét hàm số $\Large f(t)=\mathrm{log}t+t$ trên khoảng $\Large (0; +\infty)$ ta có: $\Large {f}'(t)=\dfrac{1}{t.\mathrm{ln}10}+1 > 0, \forall t > 0.$

Do đó hàm số $\Large f(t)$ là hàm số đồng biến trên khoảng $\Large (0; +\infty).$

Bất phương trình (*) trở thành: $\Large f(x^2) \geq f\big(x(4-y)\big) \Leftrightarrow x^2 \geq x(4-y) \Leftrightarrow x+y \geq 4$ do $\Large x; y > 0$

Khi đó ta chọn điểm rơi để đánh giá $\Large \min$ của đẳng thức $\Large P$ như sau:

Ta có: 

$\Large P=\alpha (x+y)+(10-\alpha )x+(18-\alpha )y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{147}{y}$ $\Large =\alpha (x+y)+\bigg[(10-\alpha )x+\dfrac{1}{x}\bigg]+\bigg[(18-\alpha )y+\dfrac{147}{y}\bigg]$

Ta chọn giá trị $\Large \alpha \in (0; 10)$ thỏa mãn để ghép cặp Côsi cho các đẳng thức trong ngoặc vuông và dấu bằng xảy ra khi:

$\Large \left\{\begin{align} & (10-\alpha )x=\dfrac{1}{x} \\ & (18-\alpha)y=\dfrac{147}{y} \\ & x+y=4 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \left\{\begin{align} & x=\dfrac{1}{\sqrt{10-\alpha}} \\ & y=\sqrt{\dfrac{147}{18-\alpha}} \\ & x+y=4 \end{align}\right.$ $\Large \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{10-\alpha}}+\sqrt{\dfrac{147}{18-\alpha}}=4 \Leftrightarrow \alpha =6.$

Do đó ta viết lại: $\Large P=6(x+y)+\bigg(4x+\dfrac{1}{x}\bigg)+\bigg(12y+\dfrac{147}{y}\bigg)$ $\Large \geq 6.4+2\sqrt{4x.\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{12y.\dfrac{147}{y}}=112.$

Dấu "$\Large =$" xảy ra khi $\Large x=\dfrac{1}{2}; y=\dfrac{7}{2}.$

Suy ra $\Large x.y=\dfrac{1}{2}.\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{4}=1,75 \in (1; 2).$

Vậy chọn D.