Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm $\Large {f}'(x)=\left\{\begin{alig

Cho hàm số $\Large f(x)$ có đạo hàm $\Large {f}'(x)=\left\{\begin{align} & e^x\ \text{khi}\ x\geq 0\\ & e^{-x}\ \text{khi}\ x < 0\end{align}\right.$ và $\Large f(4)=e$. Tính giá trị biểu thức $\Large T=f(-\ln 3)+f(\ln 3)+f(-\ln 2)+f(\ln 2)$.

 

• A. $\Large 4(e^4-e)$.
• B. $\Large 4(-e^4+e+1)$.
• C. $\Large 4(e^4-e-3)$.
• D. $\Large 4(e^4-e+2)$.

Cách 1

Ta có $\Large f(x)=\left\{\begin{align} & e^x+C_1\ \text{khi}\ x\geq 0\\ & -e^{-x}+C_2\ \text{khi}\ x < 0\end{align}\right.$

Do $\Large f(4)=e\Rightarrow e^4+C_1=e\Rightarrow C_1=e-e^4$.

Vậy $\Large f(x)=\left\{\begin{align} & e^x+e-e^4\ \text{khi}\ x\geq 0\\ & -e^{-x}+C_2\ \text{khi}\ x < 0\end{align}\right.$

Ta có $\Large \underset{x\to 0^+}{\lim} f(x)=\underset{x\to 0^+}{\lim}(e^x+e-e^4)=1+e-e^4$; $\Large \underset{x\to 0^-}{\lim}f(x)=\underset{x\to 0^-}{\lim}(-e^{-x}+C_2)=-1+C_2$.

Hơn nữa do $\Large f(x)$ có đạo hàm trên $\Large \mathbb{R}$ nên Hàm số liên tục trên $\Large \mathbb{R}$

Suy ra $\Large C_2-1=-e^4+e+1$ $\Large \Rightarrow C_2=-e^4+e+2$.

Suy ra $\Large f(x)=\left\{\begin{align} & e^x+e-e^4\ \text{khi}\ x\geq 0\\ & -e^{-x}-e^4+e+2\ \text{khi}\ x < 0\end{align}\right.$

Khi đó $\Large f(-\ln 3)=-3-e^4+e+2$; $\Large f(\ln 3)=3-e^4+e$.

$\Large f(-\ln 2)=-2-e^4+e+2$; $\Large f(\ln 2)=2-e^4+e$.

Vậy $\Large T=4(-e^4+e+1)$.