Cho hàm só f(x) thỏa mãn $\Large f(0)=0 ; f(2)=2$ và $\Large \left|f^{

Cho hàm só f(x) thỏa mãn $\Large f(0)=0 ; f(2)=2$ và $\Large \left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2, \forall x \in R$. Biết rằng tập tất cả các giá trị của tích phân $\Large \int_{0}^{2} f(x) d x$ là khoảng (a;b). Tính b-a

• A. 4
• B. 2
• C. 1
• D. 3

Chọn D

Ta có đánh giá

$\Large |f(x)-f(2)|=\left|\int_{x}^{2} f^{\prime}(t) d t\right| \leq \int_{x}^{2}\left|f^{\prime}(t)\right| d t \leq \int_{x}^{2} 2 d t=2(2-x)$

$\Large |f(x)-f(0)|=\left|\int_{0}^{x} f^{\prime}(t) d t\right| \leq \int_{0}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t \leq \int_{0}^{x} 2 d t=2 x$

Khi đó $\Large 2-2(2-x) \leq f(x) \leq 2+2(2-x) ;-2 x \leq f(x) \leq 2 x, \forall x \in[0 ; 2]$. Như vậy $\Large \max \{2 x-2 ;-2 x\} \leq f(x) \leq \min \{2 x ; 6-2 x\}, \forall x \in[0 ; 2]$

$\Large \Rightarrow \int_{0}^{2} \max \{2 x-2 ;-2 x\} d x \leq \int_{0}^{2} f(x) d x \leq \int_{0}^{2} \min \{2 x ; 6-2 x\} d x$ $\Large \Rightarrow \dfrac{1}{2} \leq \int_{0}^{2} f(x) d x \leq \dfrac{7}{2}$

Kết luận $\Large a=\dfrac{1}{2} ; b=\dfrac{7}{2} \Rightarrow b-a=3$