Có bao nhiêu cặp các số nguyên (x;y) thỏa mãn $\Large \dfrac{\log _{2}

Có bao nhiêu cặp các số nguyên (x;y) thỏa mãn $\Large \dfrac{\log _{2}\left(x^{2}-2 x+y^{2}\right)+1}{\log _{2}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)} < 1$?

• A. 5
• B. 4
• C. 2
• D. 6

Chọn A

Ta có: $\Large \dfrac{\log _{2}\left(x^{2}-2 x+y^{2}\right)+1}{\log _{2}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)} < 1$

ĐK: $\Large \left\{\begin{array}{l}
x^{2}-2 x+y^{2}>0 \\
x^{2}+y^{2}-1>0 \\
x^{2}+y^{2}-1 \neq 1
\end{array}\right.$ mà (x;y) nguyên vậy $\Large x^{2}+y^{2}-1>0 \Rightarrow(x, y) \neq\{(\pm 1,0),(0,\pm 1)\}$

Khi đó $\Large x^{2}+y^{2}-1 > 2$. Bất phương trình

$\Large \begin{aligned}
\frac{\log _{2}\left(x^{2}-2 x+y^{2}\right)+1}{\log _{2}\left(x^{2}+y^{2}-1\right)} < 1 & \Leftrightarrow \log _{2} 2\left(x^{2}-2 x+y^{2}\right) < \log _{2}\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \\
& \Leftrightarrow(x-2)^{2}+y^{2} < 3
\end{aligned}$

Kết hợp điều kiện $\Large x^{2}-2 x+y^{2}>0$ ta có $\Large \left\{\begin{array}{l}
(x-2)^{2}+y^{2} < 3 (C_{1}) \\
(x-1)^{2}+y^{2} > 1 (C_{2})
\end{array}\right.$

Tập hợp các điểm (x;y) cần tìm nằm ngoài đường tròn $\Large (C_2)$ và nằm trong đường tròn $\Large (C_1)$

Vậy có 5 cặp điểm thỏa mãn là $\Large (2 ; 1),(3 ; 1),(3 ; 0),(3 ;-1),(2 ;-1)$