Cho a là một số nguyên khác không và b là một số thực dương thỏa mãn $

Cho a là một số nguyên khác không và b là một số thực dương thỏa mãn $\Large a b^{2}=\log _{2} b$. Hỏi số nào là số trung vị trong dãy $\Large 0,1, a, b, \dfrac{1}{b}$

• A. a
• B. $\Large \dfrac{1}{b}$
• C. 1
• D. b

Chọn D

Ta có $\Large a b^{2}=\log _{2} b$. Vì a là một số nguyên khác không nên ta xét 2 trường hợp

Trường hợp 1: Nếu $\Large a \leq-1 \Rightarrow \log _{2} b < 0 \Rightarrow 0 < b < 1 \Rightarrow \dfrac{1}{b} > 1$

Khi đó ta có dãy số là $\Large \left\{a, 0, b, 1, \dfrac{1}{b}\right\}$, suy ra trung vị là b

Trường hợp 2: Nếu $\Large a \geq 1 \Rightarrow \log _{2} b>0 \Rightarrow b > 1 ; 0 < \dfrac{1}{b} < 1$

Mặt khác ta có: $\Large a b^{2} > b^{2} > b$

Xét hàm số $\Large f(x)=\log _{2} x-x, x \in(1 ;+\infty)$

$\Large f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x \ln 2}-1 < 0, \forall x > 1 \Rightarrow f(x)$ là hàm số nghịch biến $\Large \Rightarrow f(x) < f(1)=0 \Rightarrow \log _{2} b-b < 0 \Rightarrow \log _{2} b < b$ (vô lí)

Vậy trung vị của dãy là b