Cho hàm số $\Large f(x)=\dfrac{x-m^{2}+m}{x+1}$. Gọi S là tập hợp tất

Cho hàm số $\Large f(x)=\dfrac{x-m^{2}+m}{x+1}$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị của hàm số $\large g(x)=|f(x)|$ trên đoạn $\Large [1 ; 2]$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng các phần tử của tập hợp S

• A. 0
• B. 1
• C. $\Large \dfrac{1}{2}$
• D. $\Large -\dfrac{1}{2}$

Chọn B

Ta có $\Large f^{\prime}(x)=\dfrac{m^{2}-m+1}{(x+1)^{2}}>0, \forall x \neq-1$. Suy ra hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;2)

$\Large \Rightarrow \min _{[1 ; 2]} f(x)=f(1)=\dfrac{1}{2}\left(1+m-m^{2}\right) ; \max _{[1 ; 2]} f(x)=f(2)=\dfrac{1}{3}\left(2+m-m^{2}\right)$

$\Large \Rightarrow \max _{[1 ; 2]} g(x)=\max \{|f(1)| ;|f(2)|\}=\max \left\{\left|\dfrac{1}{2}\left(1+m-m^{2}\right)\right| ;\left|\dfrac{1}{3}\left(2+m-m^{2}\right)\right|\right\}$

Giả sử M là giá trị lớn nhất của g(x) khi đó

$\Large \left\{\begin{array}{l} M \geq|f(1)| \\ M \geq|f(2)| \end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} M \geq\left|\dfrac{1}{2}\left(1+m-m^{2}\right)\right| \\ M \geq \left|\dfrac{1}{3}\left(2+m-m^{2}\right)\right| \end{array}  \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} 2 M \geq\left|1+m-m^{2}\right| \\ 3 M \geq\left|2+m-m^{2}\right| \end{array}\right.\right.\right.$

$\Large \Rightarrow 5 M \geq\left|1+m-m^{2}\right|+\left|2+m-m^{2}\right|$$\Large =\left|1+m-m^{2}\right|+\left|m^{2}-m-2\right| \geq\left|1+m-m^{2}+m^{2}-m-2\right|=1$

$\Large \Rightarrow M \geq \dfrac{1}{5}$

Dấu "=" xảy ra khi $\Large \left\{\begin{array}{l} \left|\dfrac{1}{2}\left(1+m-m^{2}\right)\right|=\left|\dfrac{1}{3}\left(2+m-m^{2}\right)\right|=\dfrac{1}{5} \Leftrightarrow m=\dfrac{5 \pm \sqrt{165}}{10} \\ \left(1+m-m^{2}\right)\left(2+m-m^{2}\right) \leq 0 \end{array}\right.$

$\Large \Rightarrow S=\left\{\dfrac{5-\sqrt{165}}{10} ; \dfrac{5+\sqrt{165}}{10}\right\} \Rightarrow \dfrac{5-\sqrt{165}}{10}+\dfrac{5+\sqrt{165}}{10}=1$