Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\large [0; 1]$ thỏa mãn $\large 4x

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\large [0; 1]$ thỏa mãn $\large 4x.f(x^2)+3f(1-x)=\sqrt{1-x^2}$. Tính $\large I=\int_0^1 f(x)dx$

• A. A. $\large \dfrac{\pi}{4}$
• B. B. $\large \dfrac{\pi}{16}$
• C. C. $\large \dfrac{\pi}{20}$
• D. D. $\large \dfrac{\pi}{6}$

Chọn C

Lấy tích phân hai vế, ta có: $\large \int_0^1 [4x.f(x^2)+3f(1-x)]dx=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$ (*)

Xét tích phân $\large J=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx$. Đặt $\large x=\sin t\Rightarrow dx=\cos tdt$. Khi đó: 

$\large J=\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\sqrt{1-\sin^2t}.\cos tdt=\int_0^{\dfrac{\pi}{2}}\cos^2t dt=\dfrac{1}{2}\int_0^{\dfrac{\pi}{2}} (1+\cos 2t)dt=\left. \dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{\sin 2t}{2}\right)\right|_0^{\dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{\pi}{4}$ 

Xét tích phân $\large K=\int_0^1 4x.f(x^2)dx$. Đặt $\large $t=x^2\Rightarrow dt=2xdx$. Khi đó: 

$\large K=\int_0^1 4xf(x^2)dx=2\int_0^1f(t)dt=2\int_0^1 f(x)dx$

Xét tích phân $\large L=\int_0^1 3f(1-x)dx$. Đặt $\large t=1-x\Rightarrow dt=-dx$. Khi đó: 

$\large L=\int_0^1 3f(1-x)dx=3\int_0^1 f(t)(-dt)=3\int_0^1 f(t)dt=3\int_0^1 f(x)dx$

Vậy $\large (*)\Leftrightarrow 5\int_0^1 f(x)dx=\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow \int_0^1 f(x)dx=\dfrac{\pi}{20}$